Question

如果f(x)为偶函数，且存在，用导数定义证明f'(0)=0的过程？

Answer 1

f(x)为偶函数，则y=f(x)=f(-x)
y'=f(x)'=f(-x)'×(-x)'=-f(-x)'
f(x)'=-f(-x)' ，即偶函数的导数是奇函数
所以f(x)'+f(-x)' =0
f'(0)存在，令x=0
f(0)'+f(-0)'=0
2f(0)'=0
所以f'(0)=0.

偶函数的导函数是奇函数，在0点有定义，则f‘(0)=0；
证明：
因为是偶函数，所以f(x)=f(-x),对该式子两边求导得
f'(x)=-f'(-x),可见f'(x)是奇函数，又因为0点有意义，f’(0)=0

Answer 2

直观理解：偶函数的导函数是奇函数，在0点有定义，则f‘(0)=0；
证明：
因为是偶函数，所以f(x)=f(-x),对该式子两边求导得
f'(x)=-f'(-x),可见f'(x)是奇函数，又因为0点有意义，f’(0)=0