Question

数学高手帮我整一下这道证明题吧！！详细点哈呵呵谢啦

设f（x）可导，F(x)=f（x)(1+|sinx|）则f（0）=0是F（x）在x=0处可导的充分必要条件

Answer 1

①充分性： f(0)=0 ,则：
F'(0)
=lim(x->0) [f(x)(1+|sinx|)-f(0)(1+|sin0|]/x
=lim(x->0) f(x)(1+|sinx|)/x
=lim(x->0) [f(x)-f(0)]/x* (1+|sinx|)
= f'(0)*1
= f'(0)

②必要性：F（x）在x=0处可导，则：
F'(0+0)=F'(0-0)

由导数极限定理【此处也可改为极限式计算】：
F'(0+0)
=lim(x->0+) [f(x)(1+sinx)]'
=lim(x->0+) [f'(x)(1+sinx)+f(x)*cosx]
=f'(0)+f(0)

F'(0-0)
=lim(x->0+) [f(x)(1-sinx)]'
=lim(x->0+) [f'(x)(1-sinx)-f(x)*cosx]
=f'(0)-f(0)

∵F'(0+0)=F'(0-0)
∴f'(0)+f(0)=f'(0)-f(0)
∴ f(0)=0