Question

求极限，麻烦详细过程

第一张是问题，后两张是答案，看不懂答案的第二步怎么求的极限，麻烦讲解一下，谢谢

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Answer 1

①先看分子：
令1/x=t,t趋向0,原极限=S=(1+t)^(1/t)
则lnS=[ln(1+t)]/t=(罗比达法则,分子分母都求导)=[1/(1+t)]/1,0代入得lnS趋向1,故S趋向e.
②代入e：
上下都为1，因此极限为1.

Answer 2

书中的解法是利用“恒等变形+洛必达法则”求解的，太繁了。分享一种“简单”的解法。
∵x→∞时，1/x→0，ln(1+1/x)=1/x-1/(2x²)+O(1/x²)，∴ln(1+1/x)~1/x-1/(2x²)。
∴原式=lim(x→∞){e^[xln(1+1/x)-1]}^x=lim(x→∞){e^[-1/(2x)]}^x=e^(-1/2)。
供参考。

Answer 3

lim『x→+∞』((1+1/x)^x /e)^x
= lim『x→+∞』(1+(1+1/x)^x /e -1)^x
= lim『x→+∞』(1+ ((1+1/x)^x-e)/e)^x
= lim『x→+∞』(1+ ((1+1/x)^x-e)/e)^(((1+1/x)^x-e)/e)(1/(((1+1/x)^x-e)/e))x
= lim『x→+∞』e^(((1+1/x)^x-e)/e)x
= lim『x→+∞』e^(((1+1/x)^x-e)x/e)
= e^(lim『x→+∞』((1+1/x)^x-e)/(e/x))
接下来求(1+1/x)^x-e的导数。
((1+1/x)^x-e)'=((1+1/x)^x)'
=(e^(ln(1+1/x)^x))'
=(e^(xln(1+1/x)))'
=(e^(xln(1+1/x)))(ln(1+1/x)-1/x(1+1/x))
=(e^(xln(1+1/x)))(ln(1+1/x)-1/(x+1))
=((1+1/x)^x)(ln(1+1/x)-1/(x+1))
故原式由洛必达法则可得
= e^(lim『x→+∞』((1+1/x)^x-e)/(e/x))
= e^(lim『x→+∞』
(((1+1/x)^x)(ln(1+1/x)-1/(x+1))/(-e/x²))
= e^(lim『x→+∞』(ln(1+1/x)-1/(x+1))/(-1/x²))
= e^(lim『x→+∞』(-1/x²(1+1/x)+1/(x+1)²)/(2/x³))
= e^(lim『x→+∞』(-x²/(x+1)+x³/(x+1)²)/2)
= e^(lim『x→+∞』(-x²(x+1)+x³)/2(x+1)²))
= e^(lim『x→+∞』(-x²)/2(x+1)²))
=e^(-1/2)
=1/√e

Answer 4

这个不能告诉你，还是用功学习吧，就是给你解出来，有什么意义？自己会谁也拿不走。