Question

初中奥赛题

四边形ABCD是圆内接四边形，AC是圆的直径，BD⊥AC于E，F在DA 的延长线上，连结BF，G在BA的延长线上，使得DG‖BF。H在GF的延长线上，CH⊥GF。证明：B、E、F、H四点共圆。

Answer 1

证明见下图：

Answer 2

(1)
AB=AD ==>弧AB=弧AD，∠ADB=∠ABD
弧AB对应的圆周角有两个∠ACB=∠ADB
弧AD对应的圆周角有两个∠ACD=∠ABD
∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD
∠ADB=180-∠BAD=90-∠DFC
∠ADB+∠DFC=90
CD⊥DF

(2)过F做FG垂直BC
因为∠ACB=∠ADB
又∠BFC=∠BAD
所以∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB
则FB=FC
所以FG平分BC，G为BC中点，∠GFC=1/2∠BAD=∠DFC
证明三角形FGC全等于三角形DFC（∠GFC=∠DFC,FC=FC,∠ACB=∠ACD）
所以CD=GC=1/2BC
BC=2CD