Question

初中奥林匹克数学竞赛题

Answer 1

【 #初中奥数# 导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更高、更强。下面是 为大家带来的初中奥数题，欢迎大家阅读。

　　1．设a，b，c为实数，且｜a｜+a=0，｜ab｜=ab，｜c｜-c=0，求代数式｜b｜-｜a＋b｜-｜c-b｜＋｜a-c｜的值．

　　2．若m＜0，n＞0，｜m｜＜｜n｜，且｜x＋m｜＋｜x-n｜=m＋n，求x的取值范围．

　　3．设(3x-1)7=a7x7＋a6x6+…+a1x＋a0，试求a0+a2＋a4＋a6的值．

　　4．解方程2｜x+1｜+｜x-3｜=6．

　　5．解不等式｜｜x＋3｜-｜x-1｜｜＞2．

　　6．求x4-2x3＋x2+2x-1除以x2+x＋1的商式和余式．

　　7．设有一张8行、8列的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂上白色．下面对涂了色的方格纸施行“操作”，每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色．问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？

　　8．如果正整数p和p+2都是大于3的素数，求证：6｜(p＋1)．

　　9．房间里凳子和椅子若干个，每个凳子有3条腿，每把椅子有4条腿，当它们全被人坐上后，共有43条腿(包括每个人的两条腿)，问房间里有几个人？

　　答案：

　　1．因为｜a｜=-a，所以a≤0，又因为｜ab｜=ab，所以b≤0，因为｜c｜=c，所以c≥0．所以a＋b≤0，c-b≥0，a-c≤0．所以

　　原式=-b＋(a＋b)-(c-b)-(a-c)=b．

　　2．因为m＜0，n＞0，所以｜m｜=-m，｜n｜=n．所以｜m｜＜｜n｜可变为m＋n＞0．当x+m≥0时，｜x+m｜=x＋m；当x-n≤0时，｜x-n｜=n-x．故当-m≤x≤n时，

　　｜x＋m｜＋｜x-n｜=x＋m-x＋n=m＋n．

　　3．分别令x=1，x=-1，代入已知等式中，得

　　a0+a2＋a4＋a6=-8128．

　　4．略

　　5．略

　　6．商式为x2-3x+3，余式为2x-4

　　7．答案是否定的．设横行或竖列上包含k个黑色方格及8-k个白色方格，其中0≤k≤8．当改变方格的颜色时，得到8-k个黑色方格及k个白色方格．因此，操作一次后，黑色方格的数目“增加了”(8-k)-k=8-2k个，即增加了一个偶数．于是无论如何操作，方格纸上黑色方格数目的奇偶性不变．所以，从原有的32个黑色方格(偶数个)，经过操作，最后总是偶数个黑色方格，不会得到恰有一个黑色方格的方格纸．

　　8．大于3的质数p只能具有6k＋1，6k＋5的形式．若p=6k＋1(k≥1)，则p+2=3(2k＋1)不是质数，所以，p=6k＋5(k≥0)．于是，p＋1=6k＋6，所以，6｜(p＋1)．

　　9．设凳子有x只，椅子有y只，由题意得3x＋4y+2(x+y)＝43，

　　即5x+6y＝43．

　　所以x=5，y=3是的非负整数解．从而房间里有8个人．