Question

这个积分怎么求

Answer 1

我们先计算∫(-∞,+∞) e^(-a^2*x^2)dx的值
因为∫(-∞,+∞) e^(-a^2*x^2)dx=∫(-∞,+∞) e^(-a^2*y^2)dy
所以[∫(-∞,+∞) e^(-a^2*x^2)dx]^2=∫(-∞,+∞) e^(-a^2*x^2)dx*∫(-∞,+∞) e^(-a^2*y^2)dy
=∫∫(D) e^[-a^2*(x^2+y^2)]dxdy，其中D={(x,y)|x∈R,y∈R}
令x=pcosk，y=psink，0<=p<+∞，0<=k<2π
[∫(-∞,+∞) e^(-a^2*x^2)dx]^2=∫(0,2π) dk*∫(0,+∞) e^[-a^2*p^2]*pdp
=(-1/2a^2)*2π*∫(0,+∞) e^[-a^2*p^2]d(-a^2*p^2)
=(-π/a^2)*e^[-a^2*p^2]|(0,+∞)
=(-π/a^2)*(0-1)
=π/a^2
所以∫(-∞,+∞) e^(-a^2*x^2)dx=(√π)/a
原式=(-1/2a^2)*∫(-∞,+∞) xd[e^(-a^2x^2)]
=(-1/2a^2)*xe^(-a^2x^2)|(-∞,+∞)+(1/2a^2)*∫(-∞,+∞) e^(-a^2x^2)dx
=(-1/2a^2)*(0-0)+(1/2a^2)*(√π)/a
=(√π)/(2a^3)

Answer 2

你这是啥玩儿意呀