Question

高一函数题，急 坐等。

已知函数f(x)对任意x、y属于实数恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x大于0时，f(x)小于0，f(1)=-2/3
1，求证，f(X)是奇函数
2，求证，f(x)是在R上是减函数
3，求f(x)在【-3，6】上的最大值与最小值

Answer 1

1.令x=x,y=-x,所以
f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=f(x+y)=f(0)=0
又因为x∈R(要判断定义域是否关于原点对称，不然就会非奇非偶)
所以f(x)为奇函数
2.设x2>x1,则x2-x1>0,根据当x>0时,f(x)<0，有f(x2-x1)<0

而f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)

即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0说明函数是减函数！

3.图像关于原点对称！只需求出在[0,3]上的最值即可求出整个区间的最值！

注意到函数是减函数，于是只需求出f(0),f(3)f(6)(f(0)已经求出)

令x=y=1则f(2)=2f(1)=2*(-2/3)=-4/3

令x=1,y=2则f(3)=f(1)+f(2)=-4/3-2/3=-2
f(4)=f(2)+f(2)=-8/3
f(6)=f(2)+f(4)=-8/3-4/3=-4

根据奇函数f(x)=-f(-x)有f(-3)=-f(3)=2

故f(x)在[-3,3]上的最大值为2最小值为-4

Answer 2

令x=y=0 f(0+0)=f(0)+f(0)得f(0)=0 令y=-x f(x-x)=f(x)=f(x)+f(-x)
f(x)=-f(-x) f(x)为奇函数

x1<x2 ,x2=△x+x1, x1，x2∈R
△x=x2-x1>0
△y=f(x2)-f(x1)=f(x1+△x)-f(x)=f(△)+f(x1)-f(x1)=f(△x)<0 f(x)是减函数

f(x)在R是上减函数 在x∈[3，6]时
f(x)max=f(-3)=-f(3)=-[f(1+2)+f(1)]=-3f(1)=2
f(x)min=f(6)=6f(1)=-4

Answer 3

设y=-x 则f(x)+f(-x)=f(0)
当x=y=0时可得f(0)+f(0)=f(0)=0
即f(x)+f(-x)=0为奇函数

设x>-y则f(x)-f(y)=f(x-y)
因为x-y>0 所以f(x-y)<0 即f(x)-f(y)<0在R上为减

因为函数为减函数，所以最大值为f(-3)=-f(3)=-3f(1)=2
最小值为f(6)=6f(1)=-4

Answer 4

1.对于任意X属于实数，
f(0)=f(x-x)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)
当X=0时，
f(0)=f(0)+f(0)
由此得出f(0)=0
推得f(x)=-f(-x)所以函数是奇函数

2.对于任意X属于R，对于任意Y>0
f(x+y)=f(x)+f(y)<f(x)因为Y>0,f(y)<0所以f(x)+f(y)<f(x）

3. 因为函数是减函数，所以在X=-3时是最大值，在X=6时是最小值。
f(-3)=-f(3)=-(f(1+2))=-(f(1)+f(2))=-(f(1)+f(1)+f(1))=2
f(6)=f(3+3)=f(3)+f(3)=2f(3)=-2f(-3)=-2*2=-4
最大值F（-3）=2
最小值F（6）=4