Question

一道重积分应用题 设平面薄片D是由直线x+y=1与两坐标轴所围成的闭区域，其密度函数是u(x,y)=xy，则质量为

Answer 1

∫∫（D）u（x，y）dS

=∫∫（D）xydxdy

=∫（0,1）xdx∫（0,1-x）ydy

=（1/2） ∫（0,1）x[y²]（0,1-x）dx

=（1/2） ∫（0,1）x（1-x）²dx

=（1/2） ∫（0,1）（x一2x²十x³）dx

=（1/2）[x²/2一2x³/3十x^4/4]（0,1）

=（1/2）（1/2-2/3十1/4）

=（1/2）（3/4一2/3）

=（1/2）（1/12）

=1/24

扩展资料

由于随机变量X的取值 只取决于概率密度函数的积分，所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。更准确来说，如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0，那么这个函数也可以是X的概率密度函数。

连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是0。作为推论，连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开区间还是闭区间无关。要注意的是，概率P{x=a}=0，但{X=a}并不是不可能事件。

Answer 2

Answer 3

∫∫（D）u（x，y）dS
=∫∫（D）xydxdy
=∫（0,1）xdx∫（0,1-x）ydy
=（1/2） ∫（0,1）x[y²]（0,1-x）dx
=（1/2） ∫（0,1）x（1-x）²dx
=（1/2） ∫（0,1）（x一2x²十x³）dx
=（1/2）[x²/2一2x³/3十x^4/4]（0,1）
=（1/2）（1/2-2/3十1/4）
=（1/2）（3/4一2/3）
=（1/2）（1/12）
=1/24