Question

求齐次线性方程组通解

Answer 1

AB = O， A 是非零矩阵， 若 B 为满秩矩阵，则 AB 不会是零矩阵。
要满足 AB = O，则 B 为降秩矩阵， |B| = 0, 得 k = 9，
此时 r(B) = 1, 若 r(A) > 1 , 则 AB 不会是零矩阵。
要满足 AB = O，则 r(A) ≤ 1 ， A 是非零矩阵，则 r(A) = 1。
方程组 Ax = 0 系数矩阵 A 可初等行变换为
[a b c]
[0 0 0]
[0 0 0]
则方程组 Ax = 0 可同解变形为
ax1= - bx2 - cx3
取 x2 = -a, x3 = 0, 得基础解系 (b, -a, 0)^T
取 x2 = 0, x3 = -a, 得基础解系 (c, 0, -a)^T
方程组的通解是 x = k1 (b, -a, 0)^T + k2 (c, 0, -a)^T

Answer 2

Answer 3

可以把齐次方程组的百系数矩阵看成是向量组。
求向量组的极大无关组的一般步骤：
1. 把向量组作为矩阵的列向量构成度一个矩阵；
2. 用初等行变换将该矩阵化为阶梯阵；
3.主元所在列对应的原向量组即为极大无关组。

求齐次问线性方程组通解要先求基础解系，步骤：
a. 写出齐次方程组的系数矩阵答A；
b. 将A通过初等行变换化为阶梯阵；
c. 把阶梯阵中非主元列对应的变量作为自由元（n – r 个）；
d.令自由元中一个版为 1 ，其余为 0 ，求得 n – r 个解向量，即为一个基础解系。

齐次线性方程组AX= 0：
若X1，X2… ，Xn-r为基础解系，则权X=k1 X1＋ k2 X2 +…+kn-rXn-r，即为AX= 0的全部解（或称方程组的通解）。