Question

，抛物线y^2=2px，P（x0,y0）是抛物线上一定点。M N 分别是抛物线上两动点，且PM垂直PN，求MN所在直线过动

Answer 1

证：设定点m坐标为(m,n)，动点a坐标(x1,y1),b坐标(x2,y2)
抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离,即：
|af|=x1+
p/2,|mf|=m+
p/2,|bf|=x2+
p/2
由|af|、|mf|、|bf|三者成等差数列可知，|af|+|bf|=2|mf|,即：
x1+
p/2
+
x2+
p/2=2(m+
p/2）,化简得m=(x1+x2)/2
a、b两点在抛物线上，∴y1??=2px1,y2??=2px2
两式相减得到：(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)
∴ab斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)=2p/(y1+y2)
线段ab的垂直平分线满足：垂直于ab且过ab中点[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
ab垂直平分线方程为
y=-[(y1+y2)/2p][x-(x1+x2)/2]+
(y1+y2)/2
=-[(y1+y2)/2p](x-m-p)
此直线必过定点q(m+p,0