已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球o的球面上,△ABC是边长为√2的正三角形
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取ab的中点d,连sd,cd.
△abc是边长为√3的正三角形,
∴cd⊥ab,cd=3/2，ad=√3/2，
sc是球o的直径，a,b是该球球面上的两点,
∴sa⊥ac,sb⊥bc,sa=sb=√(sc^2-3),
∴sd⊥ab,sd=√(sa^2-ad^2)=√(sc^2-15/4),
在△scd中，由余弦定理，sc^2-15/4=sc^2+9/4-3sccos∠scd,
∴cos∠scd=2/sc,①
∴ab⊥平面scd,
∴v(s-abc)=(1/3)s△scd*ab=√3，
∴s△scd=(1/2)sc*cd*sin∠scd=3,
∴sin∠scd=4/sc,②
①^2+②^2,得20/sc^2=1,sc^2=20,
∴球o的表面积=π*sc^2=20π。
△abc是边长为√3的正三角形,
∴cd⊥ab,cd=3/2，ad=√3/2，
sc是球o的直径，a,b是该球球面上的两点,
∴sa⊥ac,sb⊥bc,sa=sb=√(sc^2-3),
∴sd⊥ab,sd=√(sa^2-ad^2)=√(sc^2-15/4),
在△scd中，由余弦定理，sc^2-15/4=sc^2+9/4-3sccos∠scd,
∴cos∠scd=2/sc,①
∴ab⊥平面scd,
∴v(s-abc)=(1/3)s△scd*ab=√3，
∴s△scd=(1/2)sc*cd*sin∠scd=3,
∴sin∠scd=4/sc,②
①^2+②^2,得20/sc^2=1,sc^2=20,
∴球o的表面积=π*sc^2=20π。
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