Question

一个矩阵的特征值和它的奇异值有什么关系

Answer 1

首先特征值只有方阵才有，奇异值只要是个矩阵就有。
所以你的问题要求同时两者存在，那么矩阵只可能是方阵了。
奇异值是也是按照特征分解的思路，只不过分解的矩阵是
X‘X
或者XX'
特征分解告诉我们，如果方阵X能相似对角化
那么
X=P*特征值对角阵*P逆
P是特征向量组成的方阵
X‘X
=
U*奇异值对角阵*V
所以对于一般的矩阵来说，特征值两者没有什么必然关系。
但对于特殊矩阵
比如实对称阵，厄米特阵，
那么X转置的特征分解
X’=P'逆*特征值对角阵*P‘
其中P是正交阵。
X’X=
P'逆*特征值对角阵*(P‘*P)*特征值对角阵*P逆
=
P'逆*特征值对角阵*特征值对角阵*P逆
可以看出
此时U=P'逆
V=P逆
奇异值=特征值的平方。

Answer 2

奇异矩阵是线性代数的概念，
就是对应的行列式等于0的方阵。
那么现在|a|=0，
显然对应的特征值式子|a-ae|=0
当然有特征值a=0