Question

高等数学证明题

Answer 1

因为x>0，所以不等式e^x>x+1两边取自然对数，即x>ln(1+x)，所以两个不等式是等价的。
证明：将1+x除以e^x，即=(1+x)/e^x，对e^x作麦克劳琳展开
可得（1+x)/e^x=(1+x)/(1+x+x^2/2+x^3/6+....)，因为x>0，所以分母明显大于分子，所以
(1+x)/(1+x+x^2/2+x^3/6+....)<1，所以
（1+x)/e^x=(1+x)/(1+x+x^2/2+x^3/6+....)<1，
即1+x<e^x，
证毕

Answer 2

分析：只需要找到一个固定方向，使得该固定方向与曲面上任意点出的法向量垂直即可，
则得到的固定方向是所求直线的方向，再在曲面上求的该方向的直线即可。
证明：曲面的法向量为N=（1，f
'(y-z)，-1-f
'(y-z)），
令y=z,则N=（1，f
'(0)，-1-f
'(0)）为常向量，
又当将y=z，x=x带入原曲面方程时得到直线方程，
x=x，y=x+f(0)，y=x+f(0)，其中x是参数
从而沿着直线l的方向向量是a=（1,1,1），
显然，对于曲面上任意一点处的法向量N与直线l的方向向量a是垂直的
故直线l满足：曲面z=x+f(y-z)上任一点处的切平面都与之平行，
因此直线l为所求的定直线.