Question

求高一数学基本不等式题型

Answer 1

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Answer 2

1
(1)求函数y＝x(a－2x)(x＞0，a为大于2x的常数)的最大值；
(2)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z＝2x＋5y的最小值．
解：(1)∵x＞0，a＞2x，∴y＝x(a－2x)＝12×2x(a－2x)
≤12×[2x＋a－2x2]2＝a28，
当且仅当x＝a4时取等号，故函数的最大值为a28.
(2)由已知条件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.
则2x＋5y＝2y＋5x10≥210xy10＝2.
∴(2x＋5y)min＝2.
当且仅当2y＝5x，即x＝2，y＝5时等号成立．
2
已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋y的最小值．
解：由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，得x>0，y>03xy＝x＋y＋1.
(1)∵x>0，y>0，
∴3xy＝x＋y＋1≥2xy＋1，
∴3xy－2xy－1≥0，
即3(xy)2－2xy－1≥0，
∴(3xy＋1)(xy－1)≥0，
∴xy≥1，∴xy≥1，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立．
∴xy的最小值为1.
(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤3•(x＋y2)2，
∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，
∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，
∴x＋y≥2，
当且仅当x＝y＝1时取等号，
∴x＋y的最小值为2.