Question

一道微积分求极限的题目lim(x→0)[(xcotx-1)/(x^2)]我的解法...

一道微积分求极限的题目 lim(x→0)[(xcotx-1)/(x^2)] 我的解法是（以下lim符号省略）： 原式=[(x/sinx)cosx-1]/(x^2)=[(1)cosx-1]/(x^2) 为0/0形式,使用洛必达法则,得： (-sinx)/(2x)=-1/2 但是却错了,答案是-1/3,请问上面步骤错在哪里?

Answer 1

（xcotx）'=cot-x/(sinx)^2=(cosxsinx-x)/(sinx)^2=[1/2*sin(2x)-x]/(sinx)^2;
所以使用罗必达法则后为
[1/2*sin(2x)-x]/(2x(sinx)^2)
把sinx换成等价量x
=[1/2*sin(2x)-x]/(2x^3)
再次使用罗必达=(cos(2x)-1)/(6x^2)
再次使用罗必达=2sin(2x)/6(2x)=-1/3
以上省略了求极限符号.