Question

数学轨迹方程题目怎么做

高二数学题
已知AB是椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0)的长轴,CD是垂直于长轴的弦,求直线BC和AD的交点P的轨迹方程.
请问这题怎么做?

Answer 1

A点坐标为（-a,0）,B点坐标为（a,0）,CD为垂直于长轴的弦,C、D点均在椭圆上且为X轴对称,所以C点坐标设为（acosθ,bsinθ）,D点坐标（acosθ,- bsinθ）
则直线AD方程为y/(x+a)= - bsinθ/(acosθ+a)
直线BC方程为y/(x-a)=bsinθ/(acosθ-a)
将两直线方程相乘,左边=y2/(x2-a2),右边=-b2sin2θ/(a2cos2θ-a2),
即y2/(x2-a2)=-b2sin2θ/(a2cos2θ-a2)
y2/(x2-a2)=b2sin2θ/a2(1-cos2θ)经过简单的三角函数推导,可得方程
y2/(x2-a2)=b2/a2,此式展开可得
a2 b2= b2 x2- a2 y2,两边同时除以a2 b2,得
x2/ a2- y2/b2=1为双曲线方程