Question

求教几道很浅显的高中函数题目，耽误不了多少时间的，求各位帮下忙，谢谢了。

（1） 函数y= -2x^2 + 4x -1在【-1,2】时的最大值为M，最小值为m，求M-m。

（2） 求函数y = 1 / 2x^2 - 8x +9的最大值。

（3） 方程x^2 - mx + 2 - m =0的两个实数根分别在（0,1）和（1,3）中，求m的取值范围。

（4） 若函数f(x) = kx^2 - 2kx + 2 的图像都在x轴的上方，则K的取值范围是？

（5） y = 根号-x^2 - 5x + 6 的最大值。

求各位老师指教下，谢谢，题目比较多，麻烦了。

Answer 1

（1） 函数y= -2x^2 + 4x -1在【-1,2】时的最大值为M，最小值为m，求M-m。

首先这个函数是二次函数，它的对称轴为：x=-4/2*（-2）=1
因为在[-1，2]中，X=1在它的中间，所以最大值（它的开口是向下的）是X=1处。y=-2*1+4*1-1=1=M
代入-1，与2点有
y(-1)=-2*1-4-1=-7
y(2)=-2*4+8-1=-1
m=-7
M-m=1+7=8

（2） 求函数y = 1 / 2x^2 - 8x +9的最大值。

下面是个二次方程2x²-8x+9
y为它的倒数，
2x²-8x+9是开口向下的二次函数，对称轴为x=-(-8)/2*2=2
代入x=2得 2*2²-8*2+9=1
这个二次函数2x²-8x+9的取值范围是[1,∞)
它的倒数的取值范围是(0,1]
所以最大值为值是1。

（3） 方程x^2 - mx + 2 - m =0的两个实数根分别在（0,1）和（1,3）中，求m的取值范围。

首先它有二个不等的根，要求△>0 △=m²-4*(2-m)=m²+4m-8>0
解得m>[-4+√(4²+32)]/2 m>-2+2√3 或者m<-2-2√3

它的两个根为：X1={m-√[m²-4(2-m)]}/2; X2={m+√[m²-4(2-m)]}/2
它分别在这两个区间中，
有两个不等式
0<{m-√[m²-4(2-m)]}/2<1① ; 1<{m+√[m²-4(2-m)]}/2<3②
①+②得
①-②得
最后解出来就是m的范围

（4） 若函数f(x) = kx^2 - 2kx + 2 的图像都在x轴的上方，则K的取值范围是？

需要讨论
当k=0，它是f(x)=2的恒值函数。符合要求;
当k≠0，
kx²-2kx+2是个二次函数，若k<0说明它的开口向下，一定在下方有图象，不合题意，
k>0时
要求它的最低点在x轴上方。即在对称轴上的值>0
对称轴为x=1代入得y=-k+2>0 得k<2

综上得 0≤k<2

（5） y = 根号-x^2 - 5x + 6 的最大值。

根号里的是个二次函数-x²-5x+6
它是开口向下的二次函数
需要-x²-5x+6≥0 即 x²+5x-6≤0 解得 -6≤x≤1
这个二次函数的对称轴为x=-5/2
它在[-6,1]中，说明在这点是最大值
代入x=-5/2得
y=√(-25/4+25/2+6)=7/2

Answer 2

1、对称轴为x=1,此时y有最大值为：1=M
x=-1时，y有最小值为：-7=m
M-m=8

2、2x^2 - 8x +9=2(x-2)^2+1最小值为1，最大值为1/1=1

3、令f(x)=x^2-mx+2-m,由图象知：f(0)>0,f(1)<0,f(3)>0，自己解吧

4、当k=0时，成立
当k>0时，判别式＝4k^2-8k<0,0<k<2
综上：0≤k<2

5、-x^2 - 5x + 6＝－（x+2.5）^2+49/4最大值为49/4
所以y的最大值开根号即可：7/2