Question

已知函数f(x),x∈R,若对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f（b），求证：f（x）为奇函数。

已知函数f(x),x∈R,若对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f（b），求证：f（x）为奇函数。

Answer 1

首先证明f(0)=0
设a=b=0 则2f(0)=f(0) 推出f(0)=0
然后设a=-b 则f(0)=f(x)+f(-x) 对任意x∈R成立
证毕

Answer 2

令a=b=0,可得f(0)=0
令a=x,b=-x,可得f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0
所以，f(-x)=-f(x)
故f(x)为奇函数。

Answer 3

证明：由题设可知，当a=b=0时，有f(0)=f(0)+f(0).∴f(0)=0.∴当a+b=0时，有f(0)=f(a)+f(-a).即f(a)+f(-a)=0.即f(x)+f(-x)=0.∴函数f(x)为奇函数。

Answer 4

哦哦哦