Question

定义在R上的函数f(x)总满足:f(x-y)=f(x)-f(y)(x,y∈R).且当x>0,f(x)>0,判断函数f(x)的单调性, 证明:利用f(

定义在R上的函数f(x)总满足:f(x-y)=f(x)-f(y)(x,y∈R).且当x>0,f(x)>0,判断函数f(x)的单调性,
证明:利用f(x)的单调性证明不等式:f(2x-1)+f(1-x)<f(x^2+1)

Answer 1

令x=0，y=0，得：
f(0-0)=f(0)-f(0)
即f(0)=0…………（1）

单独令x=0得：
f(0-y)=f(0)-f(y)
f(-y)=-f(y)…………（2）

根据以上两点得出：f(x)是奇函数。

设x>y>0，则：f(x-y)=f(x)-f(y)中
因为x-y>0
又因为当x>0，f(x)>0
所以f(x-y)>0
即f(x)-f(y)>0

因为x>y>0，f(x)>f(y)
所以在x>0上是单调递增函数。

又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在R上是单调递增函数。