Question

数学 矩阵问题

高A 是4*3 矩阵，B是 3*4矩阵。则 ABx ＝0必有非零解。

下面的结论：
r(AB)<=3 ,而ABx ＝0 的未知量个数为4 ，所以 ，ABx＝0 必有非零解！

与未知量的个数有关系吗？这是怎么回事？

Answer 1

由于两矩阵乘积的秩小于等于其中任一个矩阵的秩，所以r(AB)<=r(A)
而矩阵的秩又不超过该矩阵的行数或者列数中较小者，所以r(AB)<=r(A)<=3

而ABx ＝0 的未知量个数为4
(因为AB是一个四阶方阵，其列数4应该等于x的行数，即未知数向量x有4个分量，也就是有四个未知数)

，所以 ，ABx＝0 必有非零解！

（这里的所以是因为齐次线性方程组系数矩阵的秩小于未知数个数就意味着该方程组的解不惟一，即有非零解，在这里系数阵就是AB）

该结论任何一本《线性代数》教材中都有，比如你可以翻阅同济大学版教材第二章和第三章有关线性方程组的那两小节内容，必有。