Question

已知函数f(x)=ax2+bx满足:1、f(1-x)=f(1+x)2、方程f(x)=x有两个相等实根

问
是否存在实数m，n（m＜n），使得fx的定义域、值域分别为[m,n]和[3m,3n]，求m、n的值

Answer 1

解：

f(1-x)=f(1+x)，说明x=-b/(2a)=1

f(x)=x有两个相等实根，则ax²+(b-1)x=0的判别式△=(b-1)²=0，即b=1

∴a=-1/2

∴f(x)=(-1/2)x²+x

此函数f(x)=(-1/2)x²+x的最大值是f(1)=1/2

∴最大值3n≤1

n≤1/3

函数对称轴为x=1

∴区间[m,n]在此函数的递增区间上，（因为n≤1/3＜1)

即f(m)=3m,f(n)=3n,

m和n是方程f(x)=x的两个根，

f(x)=3x时，(-1/2)x²-2x=0，解得x=0或者x=-4

也就是说m和n只能一个是0，一个是-4，

∵m＜n，

∴m=-4,n=0

而在[-4,0]范围内,f(x)是递增的，

∴f(x)∈[f(-4),f(0)]，即[-12,0]

符合[3m,3n]的要求

∴存在m=-4,n=0满足要求，

如有疑问请再问

谢谢！