Question

求过程，求通解

Answer 1

求微分方程y'+2xy=2x的通解
解：先求齐次方程y'+2xy=0的通解：
分离变量得dy/y=-2xdx
积分之得lny=-x²；+lnc₁；
故齐次方程的通解为y=c₁；e^(-x²；)；
将c₁；改成x的函数u，得y=ue^(-x²；)............①
对①取导数得y'=u'e^(-x²；)-2xue^(-x²；)............②
将①②代人原式得：u'e^(-x²；)-2xue^(-x²；)+2xue^(-x²；)=2x
化简得u'e^(-x²；)=2x
在分离变量得=2xe^(x²；)dx
积分之得u=∫2xe^(x²；)dx=∫e^(x²；)d(x²；)=e^(x²；)+c
代入①式即原方程的通解为：y=[e^(x²；)+c]e^(-x²；)=1+ce^(-x²；).

Answer 2

y''+2y'+y=cosx
The aux. equation
r^2+2r+1=0
(r+1)^2=0
r=-1
let
yg=(Ax+B)e^(-x)
yp=Ccosx+Dsinx
yp'=-Csinx+Dcosx
yp''=-Ccosx-Dsinx
yp''+2yp'+yp=cosx
(-Ccosx-Dsinx)+2(-Csinx+Dcosx)+(Ccosx+Dsinx) = cosx
2Dcosx -2Csinx =cosx
=>
D=1/2, C=0
yp=(1/2)cosx
通解
y=yg+yp=(Ax+B)e^(-x) +(1/2)cosx