Question

近世代数理论基础29：代数扩张

Answer 1

定义：设E是域F的一个扩张,若E中任一元都是F上的代数元,则称E为F的一个代数扩张

若E是F的扩张, 为E中任意两个元, 为F中任意两个元,则 ,E可看成F上的向量空间

定义：设E是F的扩张,若E作为F上的向量空间是n( )维的,则称E是F的一个n次扩张,且记 ,此时也称E为F的一个有限扩张,若E作为F上的向量空间是无限维的,则称E为F的一个无限扩张

定理：若K是F的有限扩张,E是K的有限扩张,则E也是F的有限扩张,且

证明：

例：

故 ,又1,i为 在 的一组基,1, 为 在 上的一组基

故1, ,i, 为 在 上的一组基

推论：若 是域,且 ,E为F的有限扩张,则

推论：若 是域,其中后一个是前一个的有限扩张,则

定理：若 是F上的一个代数元,则单扩张 是F的一个代数扩张,同时也是一个有限扩张,扩张次数 等于 在F上的代数次数

证明：

注：

1.任一域F的有限扩张一定是代数扩张

2.若 是F上的n次代数元,则 是F上的n维向量空间,设F为域K的子域,若 是F上的代数元,显然 也是K上的代数元

推论：若 是F上的代数元,则 是F上的有限次代数扩张

证明：

推论：域 上的两个代数元的和差积商(分母不为0)仍是F上的代数元

定理：若集合S中的元都是 上的代数元,且 ,则 是F的代数扩张

证明：

例：显然, ,且 ,

故 ,令

易证

即

显然

故

由

是 上的4次代数元

,故

是 的根

且 是 在 上的极小多项式