Question

近世代数理论基础41：可解群

Answer 1

设G为群, ,定义G中元 ,称为a和b的换位子,所有这样的换位子生成的子群 称为G的换位子群

当G为交换群时,任意两个元的换位子 都是单位元,故

, ,故 是G的正规子群

, ,故 ,故 是交换群

引理：设 ,则 为交换群

证明：

记

可得G的一个子群链,

其中每个 都是 的正规子群,且 为交换群

定理：G为可解群 使

证明：

定理：若G为可解群,则G的子群和商群都是可解群

证明：

定理：设 ,则G为可解群 N和 都是可解群

证明：

对称群 为交换群,显然 是可解群

对称群 ,令 是偶置换群(交错群),为3阶循环群

又子群链 , 为2阶群,故 , 都是交换群,故 是可解群

对称群 中包含交错群 , 是2阶群, 中包含一个4阶子群

(Klein四元群)是交换群,易证 是 的正规子群,且 是3阶循环群,故 有子群链 ,故 是可解群

引理：当 时,全体长为3的轮换(循环置换)组成 的一个生成元系

证明：

注：

1.任一置换 一定可唯一表成相互独立的轮换之积,若长为r( )的轮换有 个,则 称为 的型

2.任一置换可表成若干对换之积,即全体对换组成 的一个生成元系

引理：对称群 中两个置换共轭 它们有相同的型

证明：

定理：当 时,交错群 是单群

证明：

定理：当 时,对称群 不是可解群

证明：