Question

近世代数理论基础13：循环群

Answer 1

由一个元生成的群称为循环群,对循环群G, ,使

注：上述定义的集合不一定含有无穷多个元,可能 使

例：

1.Z关于加法" "构成一个循环群,由1生成,即

2.整数模m的剩余类加法群 是由 生成的循环群,即

注：

1.循环群在同构的意义下只有两个

2.循环群的子群仍是循环群

3.循环群是最简单的一类群,其中有限循环群比较常用

定理：设群G是由a生成的循环群,则

1.若 ,则

2.若 ,则

证明：

定理：设 是循环群, ,则 ,使

证明：

,其中 ,即 , 使 ,称i为以a为底b的离散对数,记作

注：群中仅有有限个元,故称离散,离散对数在密码学中有重要应用

例：设p是素数, , 中的乘法定义为 ,易证这是一个群,单位元为 ,且初等数论中已证它是循环群,生成元称为模p的原根

如取p=13,计算 中元的阶

解：