求由曲线y=㏑x与直线x+y=0,y=1及x轴所围成的平面图形的面积。
解:曲线方程为y=lnx,直线方程为x+y=0与y=1,x轴的方程为y=0;曲线y=lnx与x轴的交点为A(1,0),曲线y=lnx与直线y=1的交点为B(e,1),直线x+y=0与直线y=1的交点为C(-1,1),原点为O(0,0);
作BD⊥x轴于点D,则点D为(e,0),曲线y=lnx与直线BD及x轴围成的曲线面积S₁=∫₁ᵉlnxdx,
S₁=(xlnx-x)|₁ᵉ=1,S₂=0.5(OD+BC)×BD=0.5×(e+e+1)×1=e+0.5,则所求图形面积S=S₂-S₁=e+0.5-1=e-0.5
请参考
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说,对于一个给定的正实值函数,在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上,由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值(一种确定的实数值)。
微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。