三角形不等式是什么？
三角形不等式（triangular inequality)，是三角形边长关系的推广。
下面是三角形不等式的几种解释：
（1）如果A与B是不同的两个点，线段AB的长称为这两点之间的距离，假如点A与点B相重合，则这两点之间的距离为零。下面定理所叙述的关于三点之间距离的性质称为三角形不等式。
定理若A、B、C为任意三点，不一定是三个不同的点，则距离AB不应大于两距离之和AC+CB。
（2）以三角形的任两边之和总大于第三边这一几何事实为背景的不等式叫做三角形不等式，例如，距离公理中的：
（3）三角形不等式指形如：
其中x、y为实数或复数。当x、y是复数时，它等价于三角形的一条边长小于另外两条边长之和，故得此名。在赋范线性空间中．三角形不等式形如：
其中表示该空间的元素（向量）x的范数。特别在n维欧几里得空间中。其形式为：
（4）三角形不等式也可以指三角形边长关系的推广，设V是欧氏空间，对V中任意两个向量α，β，｜α＋β｜≤｜α｜＋｜β｜，此不等式称为三角形不等式。一般地，设α1，α2，…，αm是欧氏空间的m个向量，则：
｜α1+α2+…＋αm|≤｜α1|+|α2|+…＋｜αm|。
三角形不等式亦可表示为：
｜α－β｜≤｜α－γ｜＋｜γ－β｜。
推广此不等式，则得到托勒密不等式：
｜α－β｜·|γ｜≤｜β－γ｜·|α｜＋｜γ－α｜·|β｜。
证明方法：
方法一（线段公理）：
记△ABC，BC是一条线段，而AB+AC不是一条线段，所以AB+AC>BC，所以三角形两边之和必然大于第三边（两点之间线段最短）。（注意：这里引用的线段公理并不是《几何原本》中的公设）
方法二（《几何原本》第Ⅰ卷命题20）：
设ABC为一个三角形，记△ABC，延长BA至点D，使DA = CA，连接DC。
则因DA = AC，∠ADC =∠ACD，等边对等角，《几何原本》命题5）
所以∠BCD大于∠ADC。（整体大于部分公理）
由于DCB是三角形，∠BCD大于∠BDC，而且较大角所对的边较大，（大角对大边，命题19）
所以DB > BC，而DA = AC，
则DB = AB + AD = AB + AC > BC。
以上内容参考 百度百科-三角形不等式
