Question

ax=0有非零解的充要条件是什么？

Answer 1

齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是：r(A)<n，即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。

由此可得推论：齐次线性方程组AX=0仅有零解的充要条件是r(A)=n。

齐次线性方程组解的存在性：

1、若n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组AX=0的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一零解。

2、若m个方程n个未知量构成的齐次线性方程组，若r(A)= n，即A的列向量组线性无关，则方程组有唯一零解；若r(A)= s<n，即A的列向量组线性相关，则方程组有有非零解，且有n-s个线性无关解。

性质：

1、齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解，齐次线性方程组。

2、齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3、齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n，方程组有无数多解。

4、n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。