有界函数一定收敛吗?

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天天向上mzP
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有界函数不一定收敛。

收敛函数一定有界但是有界函数不一定收敛,如f(x)在x=0处f(0)=2,在其他x处f(x)=1,那么f(x)在x=0处就不是收敛的,那么f(x)就不是收敛函数,但是f(x)是有界的,因为1≤f(x)≤2。如x趋于无穷时有界函数sinx不收敛。单调有界函数一定收敛。

性质

函数的有界性与其他函数性质之间的关系函数的性质:有界性,单调性,周期性,连续性,可积性。单调性闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立;连续性闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立;可积性闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。

有界函数并不一定是连续的。根据定义,ƒ在D上有上(下)界,则意味着值域ƒ(D)是一个有上(下)界的数集。根据确界原理,ƒ在定义域上有上(下)确界。

一个特例是有界数列,其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ(x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时,函数的值就变得越来越大。

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