Question

常微分方程问题！求伯努利方程dy/dx+y=y^2*e^x *sinx

Answer 1

令 z = y^(1-2) = 1/y, 则 y = 1/z, dy/dx = (-1/z^2)dz/dx, 微分方程化为
(-1/z^2)dz/dx+1/z = (1/z^2)e^x*sinx, 即
dz/dx - z = -e^x*sinx 为一阶线性微分方程，通解是
z = e^(∫dx) [-∫e^x*sinx*e^(-∫dx)dx + C]
= e^x [-∫sinxdx + C] = e^x (cosx + C)
得通解 ye^x (cosx + C) = 1

Answer 2

答案见上，一般来说，一个伯努利方程的解包括 n-1 个分支，其中 n 是方程中 y(x) 的次数。题目中是2次，所以有一个解。C是常数。希望能帮助到你。