Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1，AC⊥BC，点D是AB的中点．

Answer 1

解题思路：（1）以C为原点，直线CA，CB，CC 1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设AC=BC=CC 1=2，求出向量 CD ， AB ， B 1 B ，求出 CD 与 AB 的数量积以及 CD 与 B 1 B 的数量积，从而证得CD⊥AB，CD⊥B 1B，根据线面垂直的判定定理即可证得；
（2）欲证AC 1∥平面CDB 1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AC 1与平面CDB 1内一直线平行即可，而DE∥AC 1；
（3）直线B 1B和平面CDB 1所成的角就是B 1B和DB 1所成的角，∠BB 1D是直线B 1B和平面CDB 1所成的角，利用向量求出此角即可．

∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1，AC⊥BC，
∴AC、BC、CC1两两垂直．
如图，以C为原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设AC=BC=CC1=2．
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（1，1，0）．
（Ⅰ）证明：∵

CD＝(1，1，0)，

AB＝(−2，2，0)，

B1B＝(0，0，−2)
∴

CD•

AB＝0，

CD•

B1B＝0，CD⊥AB，CD⊥B1B．
又AB∩B1B=B，
∴CD⊥平面A1ABB1（4分）
（Ⅱ）证明：设BC1与B1C的交点为E，则E（0，1，1）．
∵

DE＝(−1，0，1)，

点评：
本题考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．

考点点评： 本小题主要考查直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定和直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．