Question

设A是m*n实矩阵,证明：R(A'A)=R(AA')=R(A)？

Answer 1

这类问题可用证明齐次线性方程组同解的方法
显然,AX=0 的解都是 A'AX=0 的解.
反之,若X1是 A'AX=0的解
则 A'AX1=0
所以 X1'A'AX1=0
故 (AX1)'(AX1)=0
所以有 AX1=0
即 A'AX=0 的解是 AX=0 的解
故 AX=0 与 A'AX=0 同解
所以 r(A) = r(A'A).
同理有 r(A') = r((A')'A') = r(AA')
而 r(A') = r(A)
所以 r(A)=r(A'A)=r(AA').,9,把A分解成一个可逆的m*m的方阵和一个m*n的分块
其中分块为｛E_r 0，0，0｝，r是A的秩
然后利用矩阵分块的乘法容易证明结论了,1,设A是m*n实矩阵,证明：R(A'A)=R(AA')=R(A)
A'是A的转置矩阵