Question

正实数x,y,z满足xyz=1,问x³/[(y+1)(z+1)]+y³/[(z+1)(x+1)]+z³/[(x+1)(y+1)]之最小值为何?

Answer 1

x^3/[(y+1)(z+1)]+y^3/[(z+1)(x+1)]+z^3/[(x+1)(y+ 1)] = [x^3(x+1)+y^3(y+1)+z^3(z+1)]/[(x+1)(y+1)(z+1)] ≧ (x^3+y^3+z^3)[(x+y+z+3)/3]/[(x+1)(y+1)(z+1)] (by 排序不等式
或切比雪夫总和不等式) = {(x^3+y^3+z^3)/[(x+1)(y+1)(z+1)]}．[(x+y+z+3)/3] 考虑 f(x
y
z) = (x^3+y^3+z^3)/[(x+1)(y+1)(z+1)] 在 xyz = 1 条件下
用微积分的方法可求得最小值发生在 x = y = z = 1
得 f(1
1
1) = 3/8. 又考虑 g(x
y
z) = (x+y+z+3)/3
同样在 xyz = 1 条件下
最小值也发生在 x = y = z = 1 处
得 g(1
1
1) = 2. 故 f(x
y
z)．g(x
y
z) 在 xyz = 1 条件下最小值是 (3/8)(2) = 3/4
于 x = y = z = 1 处. 但 x^3/[(y+1)(z+1)]+y^3/[(z+1)(x+1)]+z^3/[(x+1)(y+ 1)] = h(x
y
z) ≧ f(x
y
z)．g(x
y
z) 而等号于 x = y = z 时成立
故
在 xyz = 1 条件下
h(x
y
z) ≧ f(x
y
z)．g(x
y
z) ≧ f(1
1
1)．g(1
1
1) = h(1
1
1) ∴ min.{h(x
y
z): x
y
z > 0
xyz = 1} = h(1
1
1) = f(1
1
1)．g(1
1
1) = 3/4 说明: (1) 排序不等式
切比雪夫总和不等式. 设 a_1 ≦ a_2 ≦ ... ≦ a_n. b_1 ≦ b_2 ≦ ... ≦ b_n 令 σ 为任一 n 元排列
则 Σ a_i．b_i ≧ Σ a_i．b_σ(i) ≧ Σ a_i．b_(n+1-i) 由上列排序不等式
易得切比雪夫总和不等式 Σ a_i．b_i ≧ (Σ a_i) (Σb_j)/n ≧ Σ a_i．b_(n+1-i) (2) f(x
y
z) = (x^3+y^3+z^3)/[(x+1)(y+1)(z+1)] 在 xyz = 1 条件下
用微积分的方法求极小. 一般此类问题是用 Lagrange multiplier
但 L.M. 方法只是找到可能的极值
究竟是极大或极小仍 待研讨. 这里借由 xyz = 1 把 z 看成是 x
y 的函数
令 f*(x
y) = f(x.y
z(x
y))
故 Dx f* = Dx f + Dz f．Dx z Dy f* = Dy f + Dz f．Dy z 为方便
采对数形式
即用 ln f(x
y
z) 代替 f(x
y
z)
f*(x
y) = ln f(x
y
z(x
y)). 则 Dx f*(x
y) = [3x^2/(x^3+y^3+z^3)-1/(x+1)] - [1/(x^2y)] [3z^2/(x^3+y^3+z^3)-1/(z+1)] Dy f*(x
y) = [3y^2/(x^3+y^3+z^3)-1/(y+1)] - [1/(xy^2)] [3z^2/(x^3+y^3+z^3)-1/(z+1)] 令两偏导式为 0
得 3x^3/(x^3+y^3+z^3)-x/(x+1) = 3y^3/(x^3+y^3+z^3)-y/(y+1) = 3z^3/(x^3+y^3+z^3)-z/(z+1) = [1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)]/3 可得 x = y = z = 1. 又可得在此处之二阶偏导数之值: Dx^2 f* = 9/2 = Dy^2 f*
DxDy f* = DyDx f* = 9/4 故其 hessian matrix 为正确定
故
在 x=y=z=1 得 f*(x
y) 以致 f(x
y
z) 在 xyz = 1 条件下之极小值. (3) (x+y+z+3)/3 或 x+y+z 在 xyz = 1 之下之极小值 可类似方法求得
不过并不需如上用连锁律
而直 接把 z = 1/(xy) 代入然后微分即可. 另外
不微分 而直接用算几不等式即可得其结果.