求齐次方程通解xdy-ydx=根号(x^2+y^2)dx
求齐次方程的通解 xdy-ydx=根号(x^2+y^2)dx
令y=xu
则y'=u+xu'
x(u+xu')-xu=√(x²+x²u²)
xu'=√(1+u²)
du/√(1+u²)=dx/x
积分：ln(u+√(1+u²))=ln|x|+C1
得u+√(1+u²)=Cx
即y²+√(x²+y²)=Cx²
求齐次方程xdy/dx=y㏑(y/x)的通解
令y=xu
则y'=u+xu'
代入原方程:
x(u+xu')=xulnu
得xu'=ulnu-u
du/(ulnu-u)=dx/x
d(lnu)/(lnu-1)=dx/x
积分：ln|lnu-1|=ln|x|+C1
得lnu-1=Cx
即ln(y/x)-1=Cx
y=xe^(cx+1)
(x-2y)dy=2ydx,齐次方程的通解？
dy/dx=2y/(x-2y)
右边分子分母同除以x，得：dy/dx=2(y/x) / [1-2(y/x)]
设y/x=u，则y=xu，y'=u+xu'
则微分方程化为：u+xu'=2u/(1-2u)
得：xu'=2u/(1-2u) - u
得：xdu/dx=(u+2u²)/(1-2u)
则：(1-2u)/(u+2u²) du= dx/x
两边积分：∫ (1-2u)/(u+2u²) du = lnx + lnC
左边=∫ (1-2u)/(u+2u²) du
=∫ (1-2u)/[u(1+2u)] du
=∫ 1/u du - 4∫ 1/(1+2u) du
=lnu - 2ln(1+2u)
因此得：lnu - 2ln(1+2u) = lnx + lnC
得：u/(1+2u)²=Cx
u换回y/x得：(y/x) / (1+2y/x)²=Cx
得：y/(x+2y)²=C，即：y=C(x+2y)²
求齐次方程通解4（1）（2）
1）方程可整理为：
dy/dx=(x/y)+(y/x)
令u=y/x，即y=ux，那么：dy/dx=xdu/dx+u。代入上述方程得到：
xdu/dx+u=(1/u)+u
xdu/dx=1/u
分离变数：udu=dx/x
两边积分得到：u²/2=lnx+C…………C为任意常数
消去u得到最终结果：y²=2(lnx+C)x²
2）同理令u=x/y，即x=uy，那么：dx/dy=ydu/dy+u。代入原方程得到：
[1+2e^u](ydu/dy+u)+2(1-u)e^u=0
[(1+2e^u)y]du/dy+u+2e^u=0
分离变数：(1+2e^u)du/(u+2e^u)=-dy/y
两边积分得到：ln|u+2e^u|=-ln|y|+C…………C为任意常数
两边同时做为自然对数底e的指数，消去对数函式，得到：
u+2e^u=K/y…………K=e^C，K为任意常数
消去u得到最终结果：
x+2ye^(x/y)=K
dy/dx= (y-x) / (y+x) 求解齐次方程通解
dy/dx=(y-x)/(y+x)=(y/x-1)/(y/x+1),
设y=xu，则dy/dx=u+xdu/dx，原方程化为u+du/dx=(u-1)/(u+1),
整理得(u+1)du/(u^2+1)=-dx/x,
两边积分∫u/(u^2+1)du+∫1/(u^2+1)du=-∫1/xdx
1/2(ln(u^2+1))+arctanu=-lnx+lnC1
u=y/x代入上式
ln根号下（y^2/x^2+1）+arctany/x=-lnx+lnC1
ln根号下(y^2+x^2)-ln根号下x^2+lnx-lnC1=-arctany/x
ln(C1*根号下(x^2+y^2))=-arctany/x
C1*根号下(x^2+y^2)=e^(-arctany/x)
根号下(x^2+y^2)=Ce^(-arctany/x)
方程ydx-xdy=(x^2+y^2)dx的通解
y dx - x dy = (x² + y²) dx
y - x•dy/dx = x² + y²
- x•dy/dx = x² + y² - y
dy/dx = - x - y²/x + y/x
(y = - xu，y' = - u - xu')
- u - xu' = - x - xu² - u
- xu' = -x - xu²
du/(u² + 1) = dx
arctan(u) = x + C
u = tan(x + C)
- y/x = tan(x + C)
y = - xtan(x + C)
