Question

已知4阶方阵A的特征值分别为1,-1,2,-3,求|A*+2A+3E|

Answer 1

根据矩阵行列式的性质，有：
|A* + 2A + 3E| = |A - (-2)E| * |A - 3E|
其中，A* 表示矩阵 A 的伴随矩阵，E 表示 4 阶单位矩阵。
根据伴随矩阵的定义，有：
A * adj(A) = det(A) * E
其中，adj(A) 表示 A 的伴随矩阵，det(A) 表示 A 的行列式。
因此，有：
A * A* = det(A) * E
根据特征值的性质，A 可以对角化为：
A = P * D * P^-1
其中，P 是 A 的特征向量组成的矩阵，D 是 A 的特征值对角矩阵。因为 A 的特征值为 1,-1,2,-3，因此 D 可以写成：
D = [1, -1, 2, -3;
0, 0, 0, 0;
0, 0, 0, 0;
0, 0, 0, 0]
由于 P 是可逆矩阵，因此有：
P * P^-1 = E
因此，有：
A* = adj(A) = (1/det(A)) * A^-1
根据 A 的对角化形式，可以得到 A 的逆矩阵为：
A^-1 = P * D^-1 * P^-1
其中，D^-1 是 A 的特征值的逆构成的对角矩阵。因为 A 的特征值为 1,-1,2,-3，因此 D^-1 可以写成：
D^-1 = [1, -1/2, 1/2, -1/3;
0, 0, 0, 0;
0, 0, 0, 0;
0, 0, 0, 0]
代入可得：
A* = adj(A) = (1/det(A)) * A^-1 = (1/det(A)) * P * D^-1 * P^-1
因此，有：
A* + 2A + 3E = (1/det(A)) * P * D^-1 * P^-1 * P * D * P^-1 + 2P * D * P^-1 + 3E
= (1/det(A)) * P * D^-1 * D * P^-1 + 2P * D * P^-1 + 3E
= (1/det(A)) * P * P^-1 + 2P * D * P^-1 + 3E
= (1/det(A)) * E + 2P * D * P^-1 + 3E
因此，有：
|A* + 2A + 3E| = |(1/det(A)) * E + 2P * D * P^-1 + 3E|
= |(1/det(A)) * E +根据矩阵特征值的性质，可知 A 的特征值为 1，-1，2，-3。因此 A 的伴随矩阵 A* 的特征值为 3，-2，-1，-4。

根据矩阵行列式的性质，可得：

|A* + 2A + 3E| = |A* + 2A + 3I|，其中 I 为 4 阶单位矩阵。

因为 A* 的特征值为 3，-2，-1，-4，所以 A* + 2A 的特征值为 5，1，1，-2。因此 A* + 2A + 3I 的特征值为 8，4，4，1。

根据矩阵行列式的性质，可得：

|A* + 2A + 3I| = 8 × 4 × 4 × 1 = 128。

因此，|A* + 2A + 3E| = |A* + 2A + 3I| = 128。