Question

∫(arcsin2x)²dx

Answer 1

我们可以使用分部积分法来求解这个不定积分。

令 u = (arcsin 2x)^2，v' = 1，得到：

du/dx = 2arcsin 2x * 1/√(1 - 4x^2)

v = x

根据分部积分公式，有：

∫(arcsin 2x)^2 dx = x(arcsin 2x)^2 - ∫2x * 2arcsin 2x / √(1 - 4x^2) dx

我们可以对第二项进行简化，令 w = arcsin 2x，得到：

∫2x * 2arcsin 2x / √(1 - 4x^2) dx = ∫2sin w * w dw

使用分部积分法，令 u = w，v' = 2sin w，有：

du/dw = 1，v = -2cos w

根据分部积分公式，有：

∫2sin w * w dw = -2wcos w + 2∫cos w dw

= -2wcos w + 2sin w + C

其中 C 是积分常数。

将此结果代入原式，得：

∫(arcsin 2x)^2 dx = x(arcsin 2x)^2 - 2x(arcsin 2x) cos(arcsin 2x) + 2sin(arcsin 2x) + C

= x(arcsin 2x)^2 - 2x√(1 - 4x^2) + 2 + C

因此，∫(arcsin 2x)^2 dx 的结果是 x(arcsin 2x)^2 - 2x√(1 - 4x^2) + 2 + C。