Question

设f（x）是定义在（0，正无穷）上的函数，且满足关系f（x）＝f（1/x）lgx＋1

（1）求f（x）的解析式
（2）当x取何值时，f（x）有最大值和最小值？各是多少？

要精简点的过程、 谢谢

Answer 1

令x=1/x
则f(1/x)=f(x)lg(1/x)+1
代入f(x)=f(1/x )*lgx+1
=[f(x)lg(1/x)+1]*lgx+1
f(x)=f(x)lg(1/x)lgx+lgx+1

lgx*lg(1/x)
=lgx*(-lgx)
=-(lgx)^2

所以,f(x)=(lgx+1)/[1+(lgx)^2]

设y=(lgx+1)/(1+(lgx)^2)
y(1+(lgx)^2)=lgx+1
y*(lgx)^2-lgx+y-1=0
判别式=1-4y(y-1)>=0
1-4y^2+4y>=0
4y^2-4y<=1
(4y^2-4y+1)<=2
(2y-1)^2<=2
-根号2<=2Y-1<=根号2
即:(1-根号2)/2<=Y<=(1+根号2)/2

所以,最大值是(1+根号2)/2,最小值是(1-根号2)/2.

Answer 2

(1)f（x）＝f（1/x）lgx＋1
∴f(1/x)=f(x)lg(1/x)+1
代入得f(x)=[f(x)lg(1/x)+1]lgx+1
解得f(x)=(lgx+1)/(lg²x+1)
(2)f(x)=(lgx+1)/(lg²x+1)
令f(x)=y得ylg²x-lgx+y-1=0
△=1-4y(y-1)>=0
解得（1-√2）/2<=y<=(1+√2)/2
即当f(x)有最大值(1+√2)/2时，lgx=√2-1即x=10的√2-1次方
当f(x)有最小值(1-√2)/2时，lgx=-√2-1 即x=10的-√2-1次方