如何判断一个矩阵是否为正交矩阵?

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2023-01-17 · 关注我不会让你失望
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正交基的求法比较固定,就是施密特正交化的过程。

将基a1=(1,1,1) a2=(0,1,1) a3=(0,0,1)化成标准正交基。

ab如果垂直,则a点乘b等于0,因此可以这样正交化

a1不变,a2' = a2-a1(a1 .a2)/|a1|^2,这样a2' .a1 = a2 .a1 - (a2.a1)a1.a1

a3 = a3 - a1(a1 .a3)/|a1|^2 - a2'(a2' .a3)/|a2|^2

代入运算即可。

性质:

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A,如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E(E是单位矩阵),则 A 为非奇异矩阵(或称可逆矩阵),B为A的逆阵。

矩阵非奇异(可逆)当且仅当它的行列式不为零。

矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

解线性方程组的克拉默法则。

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