Question

线性规划问题求解

max z= 0.1x1+0.15x2+0.2x3+0.25x4+0.3x5
s.t.：
x1+x2+x3+x4+x5=100
0.15x1+0.2x2+0.25x3+0.3x4+0.35x5≤0.3
x1≥0，x2≥0，x3≥0，x4≥0，x5≥0

Answer 1

这是一个标准的线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。下面是解题过程：
首先将目标函数和约束条件转化为矩阵形式：
目标函数矩阵：C = [0.1 0.15 0.2 0.25 0.3]
约束条件矩阵：A = [1 1 1 1 1; 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35]
将约束条件中的等式 x1+x2+x3+x4+x5=100 转化为不等式，得到：
x1+x2+x3+x4+x5≤100
x1+x2+x3+x4+x5≥100
将不等式转化为标准形式，得到：
x1+x2+x3+x4+x5+s1=100
0.15x1+0.2x2+0.25x3+0.3x4+0.35x5+s2=0.3
其中 s1 和 s2 分别为人工变量，用来将不等式转化为等式。
将约束条件和目标函数写成标准形式：
目标函数：z = 0.1x1+0.15x2+0.2x3+0.25x4+0.3x5+0s1+0s2
约束条件：
x1+x2+x3+x4+x5+s1=100
0.15x1+0.2x2+0.25x3+0.3x4+0.35x5+s2=0.3
x1≥0，x2≥0，x3≥0，x4≥0，x5≥0
s1≥0，s2≥0
初始化单纯形表格：
基变量 x1 x2 x3 x4 x5 s1 s2 右端项
s1 1 1 1 1 1 1 0 100
s2 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0 1 0.3
z 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0 0 0
选取进入变量和离开变量：
由于目标函数中的系数都为正数，所以选取进入变量时应该选择系数最大的变量，即 x5。然后根据约束条件和单纯形表格计算出各个变量的单位贡献，得到：
x1: 0.1/1 = 0.1
x2: 0.15/1 = 0.15
x3: 0.2/1 = 0.2
x4: 0.25/1 = 0.25
x5: 0.3/1 = 0.3
s1: 0/1 = 0
s2: 0/0.35 = 0
由于 x5 的单位贡献最大，所以将 x5 作为进入变量，然后选取离开变量。根据单纯形表格计算出各个变量的限制系数，得到：
x1: 1/0.35 = 2.857
x2: 1/0.35 = 2.857
x3: 1/0.35 = 2.857
x4: 1/0.35 = 2.857
s1: 1/0.35 = 2.857
s2: 1/0.35 = 2.857
由于 s2 的限制系数最小且大于 0，所以将 s2 作为离开变量。
进行高斯－约旦消元法计算：
基变量 x1 x2 x3 x4 x5 s1 s2 右端项
s1 0.35 0.35 0.35 0.35 0