Question

求(x+3y)/(x^2+3y^2+4)的最大值

Answer 1

设z=(x+3y)/(x^2+3y^2+4),
则z(x^2+3y^2+4)=x+3y,
整理得3zy^2-3y+zx^2-x+4z=0,①
x,y,z是实数，
所以9-12z(zx^2-x+4z)≥0,
整理得4z^2(x^2+4)-4zx-3≤0
解得z≤[x+2√(x^2+3)]/[2(x^2+4)],记为f(x)(因求z的最大值，故另一半不求).
下面用导数求f(x)的最值。
f'(x)=[1+2x/√(x^2+3)]/[2(x^2+4)]-2x[x+2√(x^2+3)]/[2(x^2+4)^2]=0,
[2x+√(x^2+3)](x^2+4)=2x[x+2√(x^2+3)]√(x^2+3),
2x^3+8x+(x^2+4)√(x^2+3)=4x^3+12x+2x^2*√(x^2+3),
整理得(4-x^2)√(x^2+3)=2x^3+4x,
平方得(16-8x^2+x^4)(x^2+3)=4x^6+16x^4+16x^2,
x^6-8x^4+16x^2
.......+3x^4-24x^2+48=4x^6+16x^4+16x^2,
整理得3x^6+21x^4+24x^2-48=0,
分解因式得(x^2-1)(3x^4+24x^2+48)=0
所以x=土1.
f(1)=1/2,f(-1)=3/10,
由①，x=1,z=1/2,y=1.
所以z的最大值是1/2，为所求。