Question

如图，△ABC中,E,D是BC边上的三等分点，F是AC的中点，BF交AD,AE于G,F,试求BG:GH:HF

Answer 1

过F作FN//BC，交AE于M，AD于N，
∵F是AC的中点，
∴MF是三角形AEC的中位线，
∴MF=CE/2，
CE=2MF，
∵BD=DE=CE，
∴BE=2CE=4MF，
∵MF//BE，
很明显，
∴△MFH∽△EBH，
∴HF/BH=MF/BE=1/4，
∵NF是三角形ADC的中位线，
∴NF=CD/2=CE=BD，
∵〈GFN=〈GBD（内错角相等），
〈GNF=〈GDB（内错角相等），
∴△NFG≌△DBG，（ASA），
∴GF=BG，
∵FH/BH=1/4，
∴FH/BF=1/5，
FH=BF/5，
∵BG=BF/2，
GF=BF/2，
∴GH=GF-HF=BF/2-BF/5=3BF/10，
BG：GH：HF=（1/2）BF：（3/10）BF：（1/5）BF
=5：3：2。
∴BG：GH：HF=5：3：2。

Answer 2

过F作FN∥BC，交AE于M，AD于N，
∵F为AC中点，
∴FM是△AEC中位线，
∴MF=1/2CE，CE=2FM，
∵BD=DE=CE，
∴BE=2CE=4FM，
∵FM∥BC，
∴△FMH∽△BEH，
∴FH/BH=FM/BE=1/4
∵FN是△ADC的中位线，
∴FN=1/2
CD=CE=BD，
∵FN∥BC，
∴△FNG∽△BDG，
∴BG/GF=BD/FN=1/1
∴BG=GF，
∵FH/BH=1/4
∴FH/BF=1/5
∴FH=1/5BF
∵BG=1/2BF，HF=1/5BF，
∴GH=GF-HF=1/2BF-1/5BF=3/10BF，
∴BG：GH：HF=（1/2BF）：（3/10BF）：（1/5BF）=5：3：2．