求解递归数列的极限问题

我在做题时看到一个结论,说对于一个数列(An),如果满足(An)减A的绝对值小于k倍(An-1)-b的绝对值其中k大于0小于1,那么当n趋于无穷时,An的极限为b。求证明... 我在做题时看到一个结论,说 对于一个数列(An) ,如果满足 (An)减A 的绝对值 小于 k倍(An-1)-b的绝对值 其中k大于0小于1,那么当n趋于无穷时,An的极限为b 。求证明或解释。谢谢啦 展开
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yuyang512480
2010-09-29 · 知道合伙人教育行家
yuyang512480
知道合伙人教育行家
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毕业于某工科院校,学士学位。业余时间网上答题,高中数学和高等数学居多。

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0≤|An-An-1|<k|An-1-b|<k*k|An-2-b|<...<|A1-b|*k^n

两边求极限,利用夹逼定理可得到,
n→无穷时,|An-An-1|→0
也即An-An-1→0;(因为结果是0,所以可以去掉绝对值符号)
即存在极限;

然后再证明:
0≤|An-b|=|An-An-1+An-1-b|≤|An-An-1|+|An-1-b|<(k+1)|An-1-b|<...<|A1-b|*(k+1)*k^(n-1)
即0≤|An-b|<|A1-b|*(k+1)*k^(n-1)
两边再一次利用夹逼定理可得:{An}以b为极限。

点评:求数列极限,如何放缩是关键,这需要积累一定的题量。
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