Question

求解递归数列的极限问题

我在做题时看到一个结论，说 对于一个数列（An） ，如果满足 （An）减A 的绝对值 小于 k倍（An－1）－b的绝对值 其中k大于0小于1，那么当n趋于无穷时，An的极限为b 。求证明或解释。谢谢啦

Answer 1

0≤|An-An-1|<k|An-1-b|<k*k|An-2-b|<...<|A1-b|*k^n

两边求极限，利用夹逼定理可得到，
n→无穷时，|An-An-1|→0
也即An-An-1→0；（因为结果是0，所以可以去掉绝对值符号）
即存在极限；

然后再证明：
0≤|An-b|=|An-An-1+An-1-b|≤|An-An-1|+|An-1-b|＜(k+1)|An-1-b|<...<|A1-b|*(k+1)*k^(n-1)
即0≤|An-b|＜|A1-b|*(k+1)*k^(n-1)
两边再一次利用夹逼定理可得：{An}以b为极限。

点评：求数列极限，如何放缩是关键，这需要积累一定的题量。