Question

P为△ABC所在平面外的一点,PA=PB,BC⊥平面PAB,M为PC的中点,N为AB上的点,且AN=3BN,求证AB⊥MN。

Answer 1

证明:取PB的中点为E,AB的中点为F,
并联结ME,EN,PF.
则PF垂直于AB.(等腰三角形的中线)
由条件知:此时N为BF的中点.故EN//FP(中位线)
故知AB垂直于EN.
又EM//BC(中位线).而已知BC垂直于平面PAB,故
BC垂直于AB.从而EM垂直于AB.
即AB垂直于两相交直线EM,EN.
故AB垂直于它们所决定的平面.故AB也就垂直于
这平面上的直线MN.
证明毕.

Answer 2

BC⊥平面PAB, BC⊥AB

取AB中点K, KP⊥AB

取PB中点Q, N是KB中点, QN//KP, QN⊥AB

M是PC中点, Q是PB中点, MQ//BC, MQ⊥AB

又因为XXX=Q

所以平面MQN垂直AB

所以AB⊥MN