Question

数学建模问题求大神解答！谢谢诶！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

一家有80000订户的地方日报计划提高其订阅价格。现
在的价格为每周1.5美元。据估计如果每周提高订价10美
分，就会损失5000订户。
问题：（1）求使利润最大的订阅价格？
（2）对（1）中所得结论讨论损失5000订户这一参
数的灵敏性。分别假设这个参数值为：3000、4000、5000
、6000及7000，计算最优订阅价格。
（3）设n=5000为提高定价10美分而损失的订户数。
求最优订阅价格p作为n的函数关系。并用这个公式来求灵
敏性S(p,n)。
（4）这家报纸是否应该改变其订阅价格？用通俗
易懂的语言说明你的结论。

Answer 1

首先设每周提高定价n美分，每提高10美分损失y名客户，设总销售收入p(n)：
p(n)=（1.5+n）(80000-yn/10)=120000-0.15yn+80000n-(y/10)*n^2

(1)方法一：y=5000

总销售收入为：120000-750x+80000n-500n^2
=120000-(500n^2-79250)
=120000-500(n^2-158.5)
=120000-500(n^2-2*79.25+79.25^2)+79.25^2
=126280.5625-(n-79.25)^2
当n=79.25时取得最大，最收入为126280.5625美分
方法二：设总销售收入p(n)=120000-750n+80000n-500n^2
p(n)'=-750+80000-10000n
p(n)'=0时，总销售收入为最大。即-750+80000-10000n=0，n=79.25,带入p(n)=126280.5625
（2）以上述的方法一（配方法），方法二（导数法），将y=3000,4000,5000,6000,7000，带入计算。
（3）p(n)=120000-79250n-500n^2
(4)订阅的价格适当提高虽然降低了客户数量，但由于价位的变化使得总收入增加，当订阅的价格提升太多，导致客户数减少的过多，会使得总收入下降。
如5000为提高定价10美分而损失的订户数，总收入p(n)==126280.5625-(n-79.25)^2，n从0美分提高到79.25美分过程中，总收入在增加，n从79.25变大，总收入逐渐减小。

Answer 2

首先设每周提高定价n美分，每提高10美分损失y名客户，设总销售收入p(n)：
p(n)=（1.5+n）(80000-yn/10)=120000-0.15yn+80000n-(y/10)*n^2

(1)方法一：y=5000

总销售收入为：120000-750x+80000n-500n^2
=120000-(500n^2-79250)
=120000-500(n^2-158.5)
=120000-500(n^2-2*79.25+79.25^2)+79.25^2
=126280.5625-(n-79.25)^2
当n=79.25时取得最大，最收入为126280.5625美分
方法二：设总销售收入p(n)=120000-750n+80000n-500n^2
p(n)'=-750+80000-10000n
p(n)'=0时，总销售收入为最大。即-750+80000-10000n=0，n=79.25,带入p(n)=126280.5625
（2）以上述的方法一（配方法），方法二（导数法），将y=3000,4000,5000,6000,7000，带入计算。
（3）p(n)=120000-79250n-500n^2
(4)订阅的价格适当提高虽然降低了客户数量，但由于价位的变化使得总收入增加，当订阅的价格提升太多，导致客户数减少的过多，会使得总收入下降。
如5000为提高定价10美分而损失的订户数，总收入p(n)==126280.5625-(n-79.25)^2，n从0美分提高到79.25美分过程中，总收入在增加，n从79.25变大，总收入逐渐减小。

Answer 3

解：设每周提高订价x美元，g(x)为总利润
g(x)=[80000-5000*(100x/10)]*(1.5+x)
=-50000x^2+80000x+45000
=-50000[(x-0.8)^2-1.54]
当x等于0.8时，g(x)取得最大值
故使利润最大的订阅价格=1.5+0.8=2.3

下面几道小题都是相同的做法，就不说了