Question

设函数f(x)对于任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0时，f(x)＜0，f(1)=-2

1.证明是减函数
2.若f(2x+5)+f(6-7x)大于4，求x的取值范围。

Answer 1

(1)
令x>y
则f(x)-f(y)=f(x-y)
x-y>0.所以根据题意，f(x-y)<0
即f(x)<f(y)
所以是减函数
(2)
f(2x+5)+f(6-7x)=f((2x+5)+(6-7x))=f(-5x+11)
根据f(x+y)=f(x)+f(y)将x=0,y=0带入得f(0)=0
f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
f(x)=-f(-x)
所以函数是奇函数
f(2)=2f(1)=-4
f(-2)=4
不等式变为f(-5x+11)>f(-2)
f(x)是减函数
-5x+11<-2
x>13/5

Answer 2

1. ∵ f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0) ∴ f(0)=0
f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0 ∴f(x)=-f(-x)
所以，函数f(x)是奇函数，只用讨论f(x)在[0,＋∞)上的单调性
设 x1>x2≥0 ∴ x1-x2>0
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0
所以，函数f(x)在[0,＋∞)上单调递减
故函数f(x)在（－∞,＋∞）是减函数

2.f(-2)=f(-1)+f(-1)=-f(1)-f(1)=-2f(1)=4
f(2x+5)+f(6-7x)=f(11-5x)>4=f(-2)
∵函数f(x)是减函数
∴ 11-5x<-2
解得 x>13/5

Answer 3

1.设x1,x2∈R且x1<x2,则x2-x1>0∵x＞0时，f(x)＜0∴f(x2-x1)＜0又∵f(x+y)=f(x)+f(y)∴f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1)＜f(x1)∴是减函数 2。令x=y=0,可得f(0)=f(0)+f(0)因此f(0)=0 令x=1，y=-1,可得f(0)=f(1)+f(-1)因f(1)=-2所以f(-1)=2因此有f(-2)=4；由题知f(2x+5)+f(6-7x)=f(2x+5+6-7x)=f(11-5x),因f(2x+5)+f(6-7x)大于4所以f(11-5x)>f(-2),上已证明f(x)是减函数 ,所以11-5x<-2得x>13/5

Answer 4

1.取任意的x和y>0,则有f(x+y)=f(x)+f(y)<f(x),又因为x+y>x,所以是减函数
2.用第一问的结论求就是了