Question

已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2)，且圆心C在直线x-y+1=0上

是否存在斜率为1的直线L，使L被圆C截得的弦PQ，且以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在求出直线L的方程，若不存在说明理由

Answer 1

圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2)，且圆心C在直线x-y+1=0上
AB的垂直平分线方程是y=-x+3
圆心C必过y=-x+3和x-y+1=0的交点,即(1,2).
半径r^2=(2-1)^2+(1-1)^2=1.
即圆方程是(x-1)^2+(y-2)^2=1.
假设存在,设直线L方程是y=x+b.
代入圆方程:x^2-2x+1+(x+b)^2-4(x+b)+4=1
2x^2+(2b-6)x+5+b^2-4b=0
x1+x2=3-b
x1x2=(5+b^2-4b)/2
y1*y2=(x1+b)*(x2+b)=x1x2+(x1+x2)b+b^2
=(b^2-4b+5)/2+b(3-b)+b^2
=(b^2+2b+5)/2
由于以PQ为直径的圆经过坐标原点,则有OP垂直于OQ.
所以,x1x2+y1y2=0
即(b^2-4b+5)/2+(b^2+2b+5)/2=0
b^2-b+5=0
判别式=1-4*5<0
方程无解,则说明不存在直线L.