Question

已知圆心为C的圆经过点A（-3，0）和点B（1，0）两点，且圆心C在直线y=x+1上

已知圆心为C的圆经过点A（-3，0）和点B（1，0）两点，且圆心C在直线y=x+1上
（1）求圆C的标准方程。
（2）已知线段MN的端点M的坐标（3，4），另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程
（3）是否存在斜率为1的直线L，使L被圆C截得的弦PQ，且以PQ为直径的圆经过坐标原点?若存在求出直线L的方程，若不存在说明理由。

Answer 1

(1) 已知圆心为C的圆经过点A（-3，0）和点B（1，0）两点，AB为圆的弦圆心

在AB的垂直平分线上，即在直线x=-1上，圆心C在直线y=x+1上，解得圆心坐标

为（-1，0）,半径为2 ，圆C的标准方程 （x+1）^2+y^2=4

(2)设线段MN的中点G（x,y）,N（x0,y0）,则（x0+1）^2+y0^2=4 M（3，4），

x=（3+x0）/2 y=（4+y0）/2

x0=2x-3 y0=2y-4 代入圆C得（2x-3）^2+（2y-4）^2=4

(3)设直线L:y=x+b C:（x+1）^2+y^2=4

令交点坐标为（x1,y1）,（x2,y2）

若存在这样的直线则有OP垂直OQ，即x1*x2+y1*y2=0

y1*y2=x1*x2+x1+x2+b^2

联立解得2x^2+(2+2b)x+b^2-3=0 x1*x2=-(b+1) x1+x2=(b^2-3)/2

x1*x2+y1*y2=2x1*x2+x1+x2+b^2=-2b-2+(b^2-3)/2+b^2=0

解得b=-1或b=7/3

2x^2+(2+2b)x+b^2-3=0 判别式>0,得1-根号5<b<1+根号5

所以 b=-1或b=7/3

Answer 2

1 标准方程：（x+1）^2 + y^2 = 4
2 G的轨迹方程：（x-1）^2 + (y-2)^2 = 1
3 存在 y=x + （1 加减根号13）