Question

已知二次函数f（x)的二次项系数为a且不等式f（x)>-2x的解集为（1，3）问：1.若方程f(x)+6a=0有两个相等的

求f(x)的解析式；2.若f(x)的最大值为整数，求a的取值范围
2.若f(x)的最大值为正数求a的取值范围

Answer 1

由题意可设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)>0 则a>0.所以f(x)=ax^2-(4a+2)x+3a.又f(x)+6a=0有两相等实根，即ax^2-(4a+2)x+9a=0方程中，(4a+2)^2-36a^2=0,得a=1,a=-1/5(舍)
所以f(x)=x^2-6x+3
因为f(x)有最大值，所以a<0;
有f(x)max=-b/2a=2+1/a,为正数，a<0,所以a<-1/2
(题目为整数改了，有错理解！)

Answer 2

1 f(x)>-2x的解为(1,3)说明了两个问题：
①f(x)的二次项系数a<0
②方程f(x)+2x=0的两个根为1和3
可得f(x)+2x=a(x-1)(x-3)=ax^2-4ax+3a
f(x)=ax^2-(4a+2)x+3a
f(x)+6a=ax^2-(4a+2)x+9a有两个相等的根，说明判别式=0
判别式=(4a+2)^2-4a*9a=0
解得a=1(舍去),a=-1/5
f(x)=-1/5(x^2+6x+3)

2.f(x)的最大值为正数
f(x)=ax^2-(4a+2)x+3a
对称轴为(2a+1)/a
代入f(x)可得,f(x)的最大值为:
fmax=-(a^2+4a+1)/a
fmax>0
(a^2+4a+1)/a<0
a(a^2+4a+1)<0
a(a+2-√3)(a+2+√3)<0
数轴标根法：
a的取值范围是：
a<-2-√3,或者-2+√3<a<0