Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/2=1(a＞√2)的两条渐近线的夹角为π/3，求双曲线的离心率

已知双曲线x^2/a^2-y^2/2=1(a＞√2)的两条渐近线的夹角为π/3，求双曲线的离心率

Answer 1

根据渐近线方程y=(±b/a)x

可知题目中渐近线的一支为y=(√2/a)x

由于两条渐近线关于X轴对称，其夹角为π/3

可得一支渐近线的斜率为tanπ/6=√3/3

求得a=√6

半焦距c=√a^2+b^2＝2√2

双曲线的离心率为e=c/a＝ 2/√3

Answer 2

两条渐进线夹角60度，所以一条渐进线与X轴夹角30度，写出渐进线方程，得出a为根号6，e=c/a=2/根号3

Answer 3

因为a>根号2，所以推出两条渐近线中其中一条的倾斜角小于45°，由夹角为60°知，其中y=√2/a x的倾斜角为30°，所以√2/a=tan30°推出a=√6
所以c^2=a^2+b^2=8 即c=2√2，所以其离心率e=c/a=2√3/3